驾驶员故意撞击行人，若其行为恰好符合交通肇事罪中的“违法交通运输管理法规”以及“致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失”等要件，理论上可构成交通肇事罪。但实践中，由于故意撞人行为的主观恶性较大，往往会被认定为故意杀人罪或故意伤害罪。
交通肇事罪通常要求行为人的主观态度是过失，而非故意。因此，在故意开车撞人的情况下，直接认定为交通肇事罪的可能性较小。
法律依据：
《刑法》第一百三十三条
【交通肇事罪】违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役;交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑;因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。
《刑法》第二百三十二条
【故意杀人罪】故意杀人的，处死刑、无期徒刑或者十年以上有期徒刑;情节较轻的，处三年以上十年以下有期徒刑。
《刑法》第二百三十四条
【故意伤害罪】故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。
犯前款罪，致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑;致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。本法另有规定的，依照规定。
交通肇事后自首处罚会变轻。在量刑时，法院还会综合考虑事故的严重性、肇事者的责任比例、是否存在逃逸行为以及自首情节的真诚程度等因素。若肇事者自首并表现出真诚的悔罪态度，且事故后果相对较轻，其处罚可能会进一步减轻。
对于自首的犯罪分子，我国刑法采用统一的量刑标准，即可以从轻或者减轻处罚。如果犯罪较轻，甚至可以免除处罚。
法律依据：
《刑法》第六十七条
犯罪以后自动投案，如实供述自己的罪行的，是自首。对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚。
《刑法》第一百三十三条
【交通肇事罪】违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役;交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑;因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。
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